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第23屆全國中學生物理競賽復賽題參考解答及評分標准
一、參考解答：
解法一
小球沿豎直線上下運動時，其離開玻璃管底部的距離h隨時間t變化的關系如圖所示．設照片拍攝到的小球位置用a表示，a離玻璃管底部的距離為ha，小球開始下落處到玻璃管底部的距離為h.小球可以在下落的過程中經過a點，也可在上升的過程中經過a點.現以表示小球從最高點（即開始下落處）落到玻璃管底部所需的時間（也就是從玻璃管底部反跳後上升到最高點所需的時間），表示小球從最高點下落至a點所需的時間（也就是從a點上升至最高點所需的時間），表示小球從a點下落至玻璃管底部所需的時間（也就是從玻璃管底部反跳後上升至a點所需的時間）.顯然，.根據題意，在時間間隔t的起始時刻和終了時刻小球都在a點．用n表示時間間隔t 內（包括起始時刻和終了時刻）小球位於a點的次數（n≥2）.下面分兩種情況進行討論：
1．a點不正好在最高點或最低點．
當n為奇數時有
        （1）
在（1）式中，根據題意可取中的任意值，而
（2）
當n為偶數時有
    （3）
由（3）式得
                              （4）
由（1）、（3）、（4）式知，不論n是奇數還是偶數，都有
                          （5）
因此可求得，開始下落處到玻璃管底部的距離的可能值為
                     （6）
若用表示與n對應的h值，則與相應的a點到玻璃管底部的距離
                              （7）
當n為奇數時，可取中的任意值，故有
                   n=3,5,7,···     （8）
可見與相應的的可能值為0與之間的任意值．
當n為偶數時，，由（6）式、（7）式求得的可能值
                    n=2,4,6,···    （9）
2．若a點正好在最高點或最低點．
無論n是奇數還是偶數都有
            n=2,3,4,···（10）
      n=2,3,4,···（11）
        n=2,3,4,···（12）
或
（13）
解法二
因為照相機每經一時間間隔t拍攝一次時，小球都位於相片上同一位置，所以小球經過該位置的時刻具有周期性，而且t和這個周期的比值應該是一整數．下面我們就研究小球通過某個位置的周期性．
設小球從最高點（開始下落處）落下至管底所需時間為t，從最高點下落至相片上小球所在點（a點）所需時間為，從a點下落至管底所需時間為，則
（1）
（小球上升時通過相應路程段所需時間與下落時同一路程所需時間相同，也是t、和）
從小球在下落過程中經過a點時刻開始，小球經過的時間後上升至a點，再經過時間後又落到a點，此過程所需總時間為．以後小球將重復這樣的運動．小球周期性重復出現在a點的周期是多少？分兩種情況討論：
（1）．，和都不是小球在a點重復出現的周期，周期是．
（2）．，小球經過時間回到a點，再經過時間又回到a點，所以小球重復出現在a點的周期為t．
下面就分別討論各種情況中的可能值和a點離管底的距離的可能值．（如果從小球在上升過程中經過a點的時刻開始計時，結果一樣，只是和對調一下）
1．h的可能值
（1）．較普遍的情況，．與的比值應為一整數，的可能值應符合下式
，  （2）
由自由落體公式可知，與此相應的的數值為
   （3）
（2）．．的可能值應符合下式
      （4）
故的可能值為
  （5）
當為偶數時，即時，（5）式與（3）式完全相同．可見由（3）式求得的的可能值包含了的全部情況和的一部分情況．當為奇數時，即時，由（5）式得出的的可能值為
   （6）
它們不在（3）式之內，故（3）式和（6）式得出的合在一起是的全部的可能值．
2．與各h值相應的的可能值
a.與相應的的可能值
由於在求得（3）式時未限定a點的位置，故的數值可取0和之間的任意值，即
       （7）
b.與（為奇數）相應的的可能值
這些數值與a位於特定的位置，，相對應，所以對於每一個對應的是一個特定值，它們是
     （8）
評分標准：
本題23分

二、參考解答：
求剛碰撞後小球a、b、c、d的速度
設剛碰撞後，小球a、b、c、d的速度分別為、、、，並設它們的方向都與的方向相同．由於小球c位於由b、c、d三球組成的系統的質心處，所以小球c的速度也就是這系統的質心的速度．因碰撞前後四小球組成的質點組的動量守恆，故有
（1）
碰撞前後質點組的角動量守恆，有
       （2）
這裡角動量的參考點設在與b球重合的空間固定點，且規定順時針方向的角動量為正．因為是彈性碰撞，碰撞前後質點組的動能相等，有
（3）
因為桿是剛性桿，小球b和d相對於小球c的速度大小必相等，方向應相反，所以有
            （4）
解（1）、（2）、（3）、（4）式，可得兩個解
=0             （5）
和
（6）
因為也是剛碰撞後由b、c、d三小球組成的系統的質心的速度，根據質心運動定律，碰撞後這系統的質心不可能靜止不動，故（5）式不合理，應捨去．取（6）式時可解得剛碰撞後a、b、d三球的速度
（7）
（8）
（9）
2．討論碰撞後各小球的運動
碰撞後，由於b、c、d三小球組成的系統不受外力作用，其質心的速度不變，故小球c將以（6）式的速度即沿方向作勻速運動．由（4）、（8）、（9）式可知，碰撞後，b、d兩小球將繞小球c作勻角速度轉動，角速度的大小為
（10）
方向為逆時針方向．由（7）式可知，碰後小球a的速度的大小和方向與m、m的大小有關，下面就m、m取值不同而導致運動情形的不同進行討論：
（i），即碰撞後小球a停住，由（7）式可知發生這種運動的條件是

即（11）
（ii），即碰撞後小球a反方向運動，根據（7）式，發生這種運動的條件是
（12）
（iii）但，即碰撞後小球a沿方向作勻速直線運動，但其速度小於小球c的速度．由（7）式和（6）式，可知發生這種運動的條件是
和
即（13）
（iv），即碰撞後小球a仍沿方向運動，且其速度大於小球c的速度，發生這種運動的條件是
（14）
（v），即碰撞後小球a和小球c以相同的速度一起沿方向運動，發生這種運動的條件是
（15）
在這種情形下，由於小球b、d繞小球c作圓周運動，當細桿轉過時，小球d將從小球a的後面與小球a相遇，而發生第二次碰撞，碰後小球a繼續沿方向運動．根據質心運動定理，c球的速度要減小，碰後再也不可能發生第三次碰撞．這兩次碰撞的時間間隔是
（16）
從第一次碰撞到第二次碰撞，小球c走過的路程
（17）
3．求第二次碰撞後，小球a、b、c、d的速度
剛要發生第二次碰撞時，細桿已轉過，這時，小球b的速度為，小球d的速度為．在第二次碰撞過程中，質點組的動量守恆，角動量守恆和能量守恆．設第二次剛碰撞後小球a、b、c、d的速度分別為、、和，並假定它們的方向都與的方向相同．注意到（1）、（2）、（3）式可得
（18）
（19）
（20）
由桿的剛性條件有
      （21）
（19）式的角動量參考點設在剛要發生第二次碰撞時與d球重合的空間點．
把（18）、（19）、（20）、（21）式與（1）、（2）、（3）、（4）式對比，可以看到它們除了小球b和d互換之外是完全相同的．因此它們也有兩個解
                    （22）
和（23）
對於由b、c、d三小球組成的系統，在受到a球的作用後，其質心的速度不可能保持不變，而（23）式是第二次碰撞未發生時質心的速度，不合理，應該捨去．取（22）式時，可解得
（24）
（25）
（26

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