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歐拉定理是什麼

歐拉定理

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歐拉定理
歐拉公式
認識歐拉
歐拉定理的意義
歐拉定理的證明
歐拉定理的運用方法
使用歐拉定理計算足球五邊形和六邊形數
歐拉公式

[編輯本段]歐拉定理
對於互質的整數a和n，有aφ(n)≡1modn
證明：
首先證明下面這個命題：
對於集合zn={x1,x2,...,xφ(n)}，考慮集合
s={ax1modn,ax2modn,...,axφ(n)modn}
則s=zn
1)由於a,n互質，xi也與n互質，則axi也一定於p互質，因此
任意xi，aximodn必然是zn的一個元素
2)對於zn中兩個元素xi和xj，如果xi≠xj
則aximodn≠aximodn，這個由a、p互質和消去律可以得出。
所以，很明顯，s=zn
既然這樣，那麼
（ax1×ax2×...×axφ(n)）modn
=（ax1modn×ax2modn×...×axφ(n)modn）modn
=（x1×x2×...×xφ(n)）modn
考慮上面等式左邊和右邊
左邊等於(aφ(n)×（x1×x2×...×xφ(n)）modn)modn
右邊等於x1×x2×...×xφ(n)）modn
而x1×x2×...×xφ(n)）modn和p互質
根據消去律，可以從等式兩邊約去，就得到：
aφ(n)≡1modn
推論：對於互質的數a、n，滿足aφ(n)+1≡amodn
費馬定理
a是不能被質數p整除的正整數，則有ap-1≡1modp
證明這個定理非常簡單，由於φ(p)=p-1，代入歐拉定理即可證明。
同樣有推論：對於不能被質數p整除的正整數a，有ap≡amodp
[編輯本段]歐拉公式
簡單多面體的頂點數v、面數f及稜數e間有關系
v+f-e=2
這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、稜數特有的規律。
[編輯本段]認識歐拉
歐拉，瑞士數學家，13歲進巴塞爾大學讀書，得到著名數學家貝努利的精心指導．歐拉是科學史上最多產的一位傑出的數學家，他從19歲開始發表論文，直到76歲，他那不倦的一生，共寫下了886本書籍和論文，其中在世時發表了700多篇論文。彼得堡科學院為了整理他的著作，整整用了47年。
歐拉著作驚人的高產並不是偶然的。他那頑強的毅力和孜孜不倦的治學精神，可以使他在任何不良的環境中工作：他常常抱著孩子在膝蓋上完成論文。即使在他雙目失明後的17年間，也沒有停止對數學的研究，口述了好幾本書和400余篇的論文。當他寫出了計算天王星軌道的計算要領後離開了人世。歐拉永遠是我們可敬的老師。
歐拉研究論著幾乎涉及到所有數學分支，對物理力學、天文學、彈道學、航海學、建築學、音樂都有研究！有許多公式、定理、解法、函數、方程、常數等是以歐拉名字命名的。歐拉寫的數學教材在當時一直被當作標准教程。19世紀偉大的數學家高斯（gauss，1777-1855）曾說過“研究歐拉的著作永遠是了解數學的最好方法”。歐拉還是數學符號發明者，他創設的許多數學符號，例如π，i，e，sin，cos，tg，σ，f(x)等等，至今沿用。
歐拉不僅解決了彗星軌跡的計算問題，還解決了使牛頓頭痛的月離問題。對著名的“哥尼斯堡七橋問題”的完美解答開創了“圖論”的研究。歐拉發現，不論什麼形狀的凸多面體，其頂點數v、稜數e、面數f之間總有關系v+f-e=2，此式稱為歐拉公式。v+f-e即歐拉示性數，已成為“拓撲學”的基礎概念。那麼什麼是“拓撲學”？歐拉是如何發現這個關系的？他是用什麼方法研究的？今天讓我們沿著歐拉的足跡，懷著崇敬的心情和欣賞的態度探索這個公式......
[編輯本段]歐拉定理的意義
（1）數學規律：公式描述了簡單多面體中頂點數、面數、稜數之間特有的規律
（2）思想方法創新：定理發現證明過程中，觀念上，假設它的表面是橡皮薄膜制成的，可隨意拉伸；方法上將底面剪掉，化為平面圖形（立體圖→平面拉開圖）。
（3）引入拓撲學：從立體圖到拉開圖，各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關的量發生了變化，而頂點數，面數，稜數等不變。
定理引導我們進入一個新幾何學領域：拓撲學。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料（如橡皮波）做成的圖形，拓撲學就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質。
（4）提出多面體分類方法：
在歐拉公式中，f(p)=v+f-e叫做歐拉示性數。歐拉定理告訴我們，簡單多面體f(p)=2。
除簡單多面體外，還有非簡單多面體。例如，將長方體挖去一個洞，連結底面相應頂點得到的多面體。它的表面不能經過連續變形變為一個球面，而能變為一個環面。其歐拉示性數f(p)=16+16-32=0，即帶一個洞的多面體的歐拉示性數為0。
（5）利用歐拉定理可解決一些實際問題
如：為什麼正多面體只有5種？足球與c60的關系？否有稜數為7的正多面體？等
[編輯本段]歐拉定理的證明
方法1：（利用幾何畫板）
逐步減少多面體的稜數，分析v+f-e
先以簡單的四面體abcd為例分析證法。
去掉一個面，使它變為平面圖形，四面體頂點數e、稜數v與剩下的面數f1變形後都沒有變。因此，要研究v、e和f關系，只需去掉一個面變為平面圖形，證v+f1-e=1
（1）去掉一條稜，就減少一個面，v+f1-e不變。依次去掉所有的面，變為“樹枝形”。
（2）從剩下的樹枝形中，每去掉一條稜，就減少一個頂點，v+f1-e不變，直至只剩下一條稜。
以上過程v+f1-e不變，v+f1-e=1，所以加上去掉的一個面，v+f-e=2。
對任意的簡單多面體，運用這樣的方法，都是只剩下一條線段。因此公式對任意簡單多面體都是正確的。
方法2：計算多面體各面內角和
設多面體頂點數v，面數f，稜數e。剪掉一個面，使它變為平面圖形（拉開圖）,求所有面內角總和σα
一方面，在原圖中利用各面求內角總和。
設有f個面，各面的邊數為n1,n2，…，nf，各面內角總和為：
σα=[(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nf-2)·180度]
=(n1+n2+…+nf-2f)·180度
=(2e-2f)·180度=(e-f)·360度（1）
另一方面，在拉開圖中利用頂點求內角總和。
設剪去的一個面為n邊形，其內角和為(n-2)·180角，則所有v個頂點中，有n個頂點在邊上，v-n個頂點在中間。中間v-n個頂點處的內角和為(v-n)·360度，邊上的n個頂點處的內角和(n-2)·180度。
所以，多面體各面的內角總和：
σα=(v-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度
=（v-2）·360度（2）
由(1)(2)得：(e-f)·360度=（v-2）·360度
所以v+f-e=2.
方法3用拓樸學方法證明歐拉公式
圖嘗試一下用拓樸學方法證明關於多面體的面、稜、頂點數的歐拉公式。
歐拉公式：對於任意多面體（即各面都是平面多邊形並且沒有洞的立體），假設f，e和v分別表示面，稜（或邊），角（或頂）的個數，那末
f-e+v=2。
證明如圖（圖是立方體，但證明是一般的，是“拓樸”的）：
（1）把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。
（2）去掉多面體的一個面，就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設f′，e′和v′分別表示這個平面圖形的（簡單）多邊形、邊和頂點的個數，我們只須證明f′-e′+v′=1。
（3）對於這個平面圖形，進行三角形分割，也就是說，對於還不是三角形的多邊形陸續引進對角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進一條對角線，f′和e′各增加1，而v′卻不變，所以f′-e′+v′不變。因此當完全分割成三角形的時候，f′-e′+v′的值仍然沒有變。有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。
（4）如果某一個三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△abc，去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊，即ac，這樣也就去掉了△abc。這樣f′和e′各減去1而v′不變，所以f′-e′+v′也沒有變。
（5）如果某一個三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△def，去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊，即df和ef，這樣就去掉△def。這樣f′減去1，e′減去2，v′減去1，因此f′-e′+v′仍沒有變。
（6）這樣繼續進行，直到只剩下一個三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時f′=1，e′=3，v′=3，因此f′-e′+v′=1-3+3=1。
（7）因為原來圖形是連在一起的，中間引進的各種變化也不破壞這事實，因此最後圖形還是連在一起的，所以最後不會是分散在向外的幾個三角形，像圖中⑦那樣。
（8）如果最後是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個三角形，也就是去掉1個三角形，3個邊和2個頂點。因此f′-e′+v′仍然沒有變。
即f′-e′+v′=1
成立，於是歐拉公式：
f-e+v=2
得證。
[編輯本段]歐拉定理的運用方法
（1）分式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
當r=0,1時式子的值為0
當r=2時值為1
當r=3時值為a+b+c
（2）復數
由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：
sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i
cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2
（3）三角形
設r為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則：
d＾2=r＾2-2rr
（4）多面體
設v為頂點數，e為稜數，f是面數，則
v-e+f=2-2p
p為歐拉示性數，例如
p=0的多面體叫第零類多面體
p=1的多面體叫第一類多面體
(5)多邊形
設一個二維幾何圖形的頂點數為v，劃分區域數為ar，一筆畫筆數為b,則有：
v+ar-b=1
(如：矩形加上兩條對角線所組成的圖形，v=5,ar=4,b=8)
(6).歐拉定理
在同一個三角形中，它的外心circumcenter、重心gravity、九點圓圓心nine-point-center、垂心orthocenter共線。
其實歐拉公式是有很多的，上面僅是幾個常用的。
[編輯本段]使用歐拉定理計算足球五邊形和六邊形數
問：足球表面由五邊型和六邊型的皮革拼成，計算一共有多少個這樣的五邊型和六邊型？
答：足球是多面體，滿足歐拉公式f－e＋v＝2，其中f,e,v分別表示面,稜,頂點的個數
設足球表面正五邊形(黑皮子)和正六邊形(白皮子)的面各有x個和y個，那麼
面數f＝x＋y
稜數e＝(5x+6y)/2（每條稜由一塊黑皮子和一塊白皮子共用）
頂點數v＝(5x+6y)/3（每個頂點由三塊皮子共用）
由歐拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，
解得x＝12。所以，共有12塊黑皮子
所以，黑皮子一共有12×5＝60條稜，這60條稜都是與白皮子縫合在一起的
對於白皮子來說：每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起。
所以白皮子所有邊的一半是與黑皮子縫合在一起的
那麼白皮子就應該一共有60×2＝120條邊，120÷6＝20
所以共有20塊白皮子
（或者，每一個六邊

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