歐拉定理是什麼_大眾科普網

形的六條邊都與其它的三個六邊形的三條邊和三個五邊形的三條邊連接；每一個五邊形的五條邊都與其它的五個六邊形的五條邊連接
所以，五邊形的個數x=3y/5。
之前求得x=12，所以y=20）
經濟學中的“歐拉定理”
在西方經濟學裡，產量和生產要素l、k的關系表述為q＝q(l，k)，如果具體的函數形式是一次齊次的，那麼就有：q＝l(ðq/ðl)＋k(ðq/ðk)，換句話說，產品分配淨盡取決於q能否表示為一個一次齊次函數形式。
因為ðq/ðl＝mpl＝w/p被視為勞動對產量的貢獻，ðq/ðk＝mpk＝r/p被視為資本對產量的貢獻，因此，此式被解釋為“產品分配淨盡定理”，也就是所有產品都被所有的要素恰好分配完而沒有剩余。因為形式上符合數學歐拉定理，所以稱為歐拉定理。
【同余理論中的"歐拉定理"】
設a,m∈n,(a,m)=1,則a^(f(m))≡1(modm)
(注:f(m)指模m的簡系個數)
[編輯本段]歐拉公式
在數學歷史上有很多公式都是歐拉（leonhardeuler公元1707-1783年)發現的，它們都叫做歐拉公式，它們分散在各個數學分支之中。
1、復變函數論裡的歐拉公式：
e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。
它將三角函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論裡占有非常重要的地位。
將公式裡的x換成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然後采用兩式相加減的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
這兩個也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：
e^i∏+1=0.
這個恆等式也叫做歐拉公式，它是數學裡最令人著迷的一個公式，它將數學裡最重要的幾個數學聯系到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率∏，兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及數學裡常見的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”，我們只能看它而不能理解它。
2、拓撲學裡的歐拉公式：
v+f-e=x(p)，v是多面體p的頂點個數，f是多面體p的面數，e是多面體p的稜的條數,x(p)是多面體p的歐拉示性數。
如果p可以同胚於一個球面（可以通俗地理解為能吹脹成一個球面），那麼x(p)=2，如果p同胚於一個接有h個環柄的球面，那麼x(p)=2-2h。
x(p)叫做p的拓撲不變量，是拓撲學研究的范圍。
3、初等數論裡的歐拉公式：
歐拉φ函數：φ(n)是所有小於n的正整數裡，和n互素的整數的個數。n是一個正整數。
歐拉證明了下面這個式子：
如果n的標准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am，其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數，而且兩兩不等。則有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以證明它。
定理：正整數a與n互質，則a^φ(n)除以n余1
證明：設集合{a1,a2,...,am}為模n的一個縮系（若整數a1,a2,...,am模n分別對應0,1,2,...,n-1中所有m個與n互素的自然數,則稱集合{a1,a2,...,am}為模n的一個縮系）
則{aa1,aa2,...,aam}也是模n的一個縮系（如果aax與aay(x不等於y)除以n余數相同，則a(ax-ay)是n的倍數，這顯然不可能）
即a1*a2*a3*……am≡aa1*aa2*……aam(modn)（這裡m=φ(n)）
兩邊約去a1*a2*a3*……am即得1≡a^φ(n)（modn）

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