金舵微分系列有哪些

金舵微分系列有哪些

微分中值定理是一系列中值定理總稱，是研究函數的有力工具。它包括：
（1）拉格朗日定理
內容：
如果函數f(x)滿足：
1)在閉區間[a,b]上連續；
2)在開區間(a,b)內可導。
那麼：在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ<b)，
使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立。
[中值定理]分為：微分中值定理和積分中值定理：
f(x)在a到b上的積分等於a-b分之一倍的f(a)-f(b)ξ
（2）羅爾定理
內容：
如果函數f(x)滿足
在閉區間[a,b]上連續；
在開區間(a,b)內可導；
在區間端點處的函數值相等，即f(a)=f(b)，
那麼在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ<b)，使得f^\prime(\xi)=0。
補充
如果函數f(x)滿足：
在閉區間[a,b]上連續；
在開區間(a,b)內可導；
在區間端點處的函數值相等，即f(a)=f(b)，
那麼在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ<b)，使得f'(ξ)=0.
幾何上，羅爾定理的條件表示，曲線弧（方程為）是一條連續的曲線弧
，除端點外處處有不垂直於軸的切線，且兩端點的縱坐標相等。而定理結論表明，
弧上至少有一點，曲線在該點切線是水平的.：
（3）柯西中值定理
內容：
如果函數f(x)及f(x)滿足
(1)在閉區間[a,b]上連續；
(2)在開區間(a,b)內可導；
(3)對任一x(a,b)，f'(x)!=0
那麼在(a,b)內至少有一點ξ，使等式
[f(b)-f(a)]/[f(b)-f(a)]=f'(ξ)/f'(ξ)
成立
（4）費馬中值定理
內容：
設函數f(x)在ξ處取得極值
且f(x)在點ξ處可導
則f'(ξ)=0.
推論：若函數f(x)在區間i上的最大值（最小值）在i內的點c處達到
且f(x)在點c處可導
則f'(c)=0.
（5）泰勒公式
內容：若函數f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函數在此區間內時，可以展開為一個關於（x-x.)多項式和一個余項的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n+rn
其中rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),這裡ξ在x和x.之間，該余項稱為拉格朗日型的余項。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n階導數，不是f(n)與x.的相乘。）
推論：麥克勞林公式
內容：
若函數f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函數在此區間內時，可以展開為一個關於x多項式和一個余項的和：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+rn
其中rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),這裡0<θ<1.
(6)洛必達法則
內容：
設(1)當x→a時，函數f(x)及f(x)都趨於零；
(2)在點a的去心鄰域內，f'(x)及f'(x)都存在且f'(x)≠0；
(3)當x→a時limf'(x)/f'(x)存在(或為無窮大)，那麼
x→a時limf(x)/f(x)=limf'(x)/f'(x)。
又設
(1)當x→∞時，函數f(x)及f(x)都趨於零；
(2)當|x|>n時f'(x)及f'(x)都存在，且f'(x)≠0；
(3)當x→∞時limf'(x)/f'(x)存在(或為無窮大)，那麼
x→∞時limf(x)/f(x)=limf'(x)/f'(x)。
（7）達布定理
內容：
若函數f(x)在[a,b]上可導,則f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之間任何值.
推廣：若f(x),g(x)均在[a,b]上可導,並且在[a,b]上,g′(x)≠0,則f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)與f′(b)/g′(b)之間任何值.