在籠子裡有雞和兔有十六個頭五十只腳雞有幾只

在籠子裡有雞和兔有十六個頭五十只腳雞有幾只

設雞為x兔為y  x+y=16 2x+4y=50   x=7 y=9

例1籠中有若干只雞和兔，它們共有50個頭和140只腳，問雞兔各有多少只？

解法1假設法

假設一個未知數是已知的，比如假定50個頭全是兔，則共有腳（4×50=）200（只），這與題中已知140只不符，多出（200-140=）60（只），多的原因是雞當兔後每只雞多算了2只腳，所以雞的只數是（60÷2=）30（只），則兔的只數為（50-30＝）20（只）。

這種解法，思路清晰，但較復雜，不便操作。能不能形象地畫個圖呢？讓我們試試。

解法2圖形法

從圖中看acdf的面積＝4×50＝200（只腳），比實際多出ghef的面積＝200-140＝60（只腳），ab=gh=60÷2=30（只雞），bc=ac-ab=50-30＝20（只兔）

解法2比解法1高級，算理是一樣的。這裡答案是圖上算出的，顯然這兩種解法都要用紙和筆。不用紙和筆肯定是用口訣或易記的公式，這是老公公的傳家寶。

解法3公式法

老公公講：只要用哨子一吹，並喊一聲口令：“全體肅立”。這時每只雞呈金雞獨立之狀，每只兔呈玉兔拜月狀，著地的腳數之和有（140÷2＝）70（只），其中雞的頭數與腳數相等，由於每只兔的腳比頭數多1，因此兔的頭數為（70－50＝）20（個），即兔有20只，則雞有（50－20＝）30（只）。這個故事實際上老公公用了如下的公式。

腳數和÷2-頭數和=兔子數。

小孫子們聽了興趣為之大增，紛紛叫老公公再出幾道題。老公公又出了

（1）30個頭，80只腳……。（兔10，雞20
  (1)出示課件雞有兩條腿，兔有四條腿。

師：四只雞有幾條腿？

生：四只雞有8條腿。

師：我們把雞的頭用一個圓來表示，四只雞要畫幾個圓？

生：四只雞要畫4個圓。

師：雞的兩條腿用兩個小線段來表示，8條腿就要畫幾條小線段？

生：8條腿就要畫8條小線段。

師：如果把兩只雞換成兩只兔，這樣兩只雞兩只兔一共有幾條腿？

生：兩只雞兩只兔一共有12條腿。

師：下面這幅圖我們如何把雞換成兔？

生：在雞身上再加兩條腿。

師：請你觀察一下雞和兔有什麼相同，有什麼不同？

生：相同點是雞和兔都有一個頭，不同點是雞有兩條腿而兔有四條腿，兔比雞多兩條腿。

師：同學們請看大屏幕出示例1：雞和兔一共有8個頭，有26條腿，

雞和兔各有幾只？——探索、解決問題

(2)先猜一猜，雞兔可能有幾只？教師隨著學生的回答板書

雞的只數
1
2
3
4
5
6
7

兔的只數
7
6
5
4
3
2
1

總的腿數
30
28
26

師：老師隨著你們的回答按著一定的順序寫的，我們這樣思考就可以防止漏掉。有這麼多的可能到底哪種是正確的呢？關鍵要看什麼？

生：關鍵要看總的腿數。

師：也就是說看雞和兔總的腿數是不是26條。下面請同學們自己先想一想，試著用自己喜歡的方式做一做，再和小組裡的同學說一說你是怎麼想的。

(3)小組交流：把你的想法做法和同組的同學交流一下。

(4)學生匯報：（匯報時，師生、生生質疑，評價）

師：誰願意展示你的方法？
（1）列表法：

雞的只數
1
2
3
4
5
6
7

兔的只數
7
6
5
4
3
2
1

總的腿數
30
28
26

小組1：我們采用列表法得出的答案。（實物投影展示小組的成果）

先假設有7只雞，1只兔子，腿還是太少了。這樣試下去就得到了有3只雞，5只兔子。

師：學生說出“7只雞，1只兔子”，問“怎樣計算出的腿數？”7×2+1×4=14+4=18

問“3只雞，5只兔子是26條腿嗎？”3×2+5×4=6+20=26

師：誰和他的方法一樣？能再講講嗎？

師：追問“有些同學在填表時寫出的腿數特別快，讓我們采訪一下有什麼秘訣？”

生：因為雞和兔的只數是固定的，每增加一只兔子減少一只雞，腿的總只數就增加2。反之依然，所以列表列得特別快。

師：評價“像你們這樣，采用列表的方法，不重復、不遺漏的寫出所有可能的答案。這種逐一列舉的方法在數學中也稱為“枚舉法”

師：他們是先考慮雞，還可以怎樣列表呢？假設有8只兔，0只雞，又假設有7只兔，1只雞，……這樣做和剛才的道理一樣，也是可以的！如果沒有教師介紹。

師：除了像他們這樣逐一列舉，還有不同的列表方法嗎？

小組3：從中間確定。如果沒有教師介紹。受到這些同學的啟發，我是這樣做的：假設雞兔各有4只，4*4+4*2=24，少了。就增加兔子只數，減少雞的只數。5只兔子，3只雞。5*4+3*2=26

師：你覺得這種方法怎麼樣？簡便、快捷。

剛才我們同學介紹了用列表法來解決這個問題？還有別的方法嗎？誰願意來給大家講一講？

（2）畫圖法：給每只動物先安上2條腿（也就是都看成雞），這樣一共用16條腿，還剩下10條腿。一次增加2條腿，一只雞就變成了一只兔，要把10條安完，要把5只雞變成兔。

問：誰聽懂他的方法了？能再說說嗎？你覺得這樣做怎麼樣？

師：畫圖的方法非常便於觀察、非常容易理解。

（3）算術法。

小組1：假設全都是雞：2×8=16（條）26-16=10（條）10÷2=5（只）……兔子

8-5=3（只）……雞  誰有不懂得問題要問他？你們看看是不是這樣：看屏幕演示

板書“算術法。

除了可以假設都是雞，還可以怎樣假設呢？引導學生說出還可以假設都是兔。

（5）初步小結：同學們，剛才我們用列表法、畫圖法、算術法解決了雞兔同籠問題。下面我們就一起來做一道練習題（出示課件）

三、解決實際問題

      雞和兔一共有13個頭，有36條腿，雞和兔各有多少只？

四、拓展延伸

雞兔同籠問題是一類重要數學問題，在現代生活中隨處可見。

(1)三輪車和自行車共7輛,17個輪子。三輪車、自行車各有幾輛？

  (2)小方有2分、5分硬幣共10枚，共有32分。2分、5分硬幣各有幾枚？

（3）小結方法：剛才我們用這麼多的方法解決了雞兔同籠問題，你最喜歡那一種方法，說說你的理由。

五、回顧情境中的問題：解決問題，前後照應。

回過頭來我們在來看一看《孫子算經》裡的這道題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雞、兔各幾何？你能拭著做一做嗎？

師：再來體會一下你的方法是不是最好。（選一個做的最快的同學來說，慢的，你為什麼沒做完呢？）

（6）再次小結：現在看來數目比較小時，用畫圖和列表的方法比較快，數目比較大時，用算術法比較好。書中還給出了一種巧妙的解法，今譯為：

94÷2-35=12（只） …… 兔的只數

35-12=23（只） …… 雞的只數

   解答思路是這樣的：假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨角雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”。這樣，（1）雞和兔的腳的總數就由94只變成了47只；（2）如果籠子裡有一只兔子，則腳的總數就比頭的總數多1。因此，腳的總只數47與總頭數35的差，就是兔子的只數，即47－35＝12（只）。顯然，雞的只數就是35－12＝23（只）了。
這一思路新穎而奇特，其“砍足法”也令古今中外數學家贊歎不已。這種思維方法叫化歸法。化歸法就是在解決問題時，先不對問題采取直接的分析，而是將題中的條件或問題進行變形，使之轉化，直到最終把它歸成某個已經解決的問題。
師：看了這種解題法，你有什麼想說的嗎？

為我們的祖先感到驕傲，其實老師也為你們感到驕傲，你們在這麼短的時間內就想出了這麼多解決問題的辦法，你們也很了不起！