為什麼克萊因瓶是沒有內外的瓶子？

在1882年，著名數學家菲立克斯?克萊因(felixklein)發現了後來以他的名字命名的著名“瓶子”。這是一個象球面那樣封閉的（也就是說沒有邊）曲面，但是它卻只有一個面。在圖片上我們看到，克萊因瓶的確就象是一個瓶子。但是它沒有瓶底，它的瓶頸被拉長，然後似乎是穿過了瓶壁，最後瓶頸和瓶底圈連在了一起。如果瓶頸不穿過瓶壁而從另一邊和瓶底圈相連的話，我們就會得到一個輪胎面。
具體分析
我們可以說一個球有兩個面——外面和內面，如果一只螞蟻在一個球的外表面上爬行，那麼如果它不在球面上咬一個洞，就無法爬到內表面上去。輪胎面也是一樣，有內外表面之分。但是克萊因瓶卻不同，我們很容易想象，一只爬在“瓶外”的螞蟻，可以輕松地通過瓶頸而爬到“瓶內”去——事實上克萊因瓶並無內外之分！在數學上，我們稱克萊因瓶是一個不可定向的二維緊致流型，而球面或輪胎面是可定向的二維緊致流型。在數學上，我們稱克萊因瓶是一個不可定向的二維緊致流型。如果我們觀察克萊因瓶的圖片，有一點似乎令人困惑——克萊因瓶的瓶頸和瓶身是相交的，換句話說，瓶頸上的某些點和瓶壁上的某些點占據了三維空間中的同一個位置。但是事實卻非如此。事實是：克萊因瓶是一個在四維空間中才可能真正表現出來的曲面，如果我們一定要把它表現在我們生活的三維空間中，我們只好將就點，只好把它表現得似乎是自己和自己相交一樣。事實上，克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的，並不穿過瓶壁。這是怎麼回事呢？我們用扭節來打比方。如果我們把它看作平面上的曲線的話，那麼它似乎自身相交，再一看似乎又斷成了三截。但其實很容易明白，這個圖形其實是三維空間中的曲線，它並不和自己相交，而且是連續不斷的一條曲線。在平面上一條曲線自然做不到這樣，但是如果有第三維的話，它就可以穿過第三維來避開和自己相交。只是因為我們要把它畫在二維平面上時，只好將就一點，把它畫成相交或者斷裂了的樣子。克萊因瓶也一樣，這是一個事實上處於四維空間中的曲面。在我們這個三維空間中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模樣；就好像最高明的畫家，在紙上畫扭結的時候也不得不把它們畫成自身相交的模樣。題圖就是一個用玻璃吹制的克萊因瓶。
性質
從拓撲學角度上看，克萊因瓶可以定義為矩陣[0，1]×[0，1]，邊定義為(0，y)~(1，y)條件0≤y≤1和(x，0)~(1-x，1)條件0≤x≤1可以用圖表示為---->^^||<----就像麥比烏斯帶一樣，克萊因瓶沒有定向性。但是與之不同的是，克萊因瓶是一個閉合的曲面，也就是說它沒有邊界。莫比烏斯帶可以在三維的歐幾裡德空間中嵌入，克萊因瓶只能適用於四維空間。
克萊因瓶與麥比烏斯帶
大家大概都知道麥比烏斯帶。你可以把一條紙帶的一段扭180度，再和另一端粘起來來得到一條麥比烏斯帶的模型。這也是一個只有一麥比烏斯帶、一個面的曲面，但是和球面、輪胎面和克萊因瓶不同的是，它有邊（注意，它只有一條邊）。如果我們把兩條麥比烏斯帶沿著它們唯一的邊粘合起來，你就得到了一個克萊因瓶（當然不要忘了，我們必須在四維空間中才能真正有可能完成這個粘合，否則的話就不得不把紙撕破一點）。同樣地，如果把一個克萊因瓶適當地剪開來，我們就能得到兩條麥比烏斯帶。除了我們上面看到的克萊因瓶的模樣，還有一種不太為人所知的“8字形”克萊因瓶。它看起來和上面的曲面完全不同，但是在四維空間中它們其實就是同一個曲面——克萊因瓶。
克萊因瓶的制造
事實上，德國數學家克萊因就曾提出了“不可能”設想，即拓撲學的大怪物——克萊因瓶。這種瓶子根本沒有內、外之之分，無論從什麼地方穿透曲面，到達之處依然在瓶的外面，所以，它本質上就是一個“有外無內”的古怪東西。盡管現代玻璃工業已經發展得非常先進，但是，所謂的“克萊因瓶，卻始終是大數學家克萊因先生腦子裡頭的“虛構物”，根本制造不出來。許多國家的數學家老是想造它一個出來，作為獻給國際數學家大會的禮物。然而，等等他們的是一個失敗接著一個失敗。也有人認為，即使造不出玻璃制品，能造出一個紙模型也不錯呀。如果真的解決了這個問題，那可是個大收獲啊！但實際上，據說克萊因瓶已經被人制造出來了。在郭凱聲等編著的《數學游戲》（下）一書的“玻璃克萊因瓶”一文中有清楚的介紹。茲引錄部分如下：alanbennett是英國貝德福德的一位玻璃吹制工。幾年前，他開始對拓撲學中出現的各種神秘的形狀――墨比烏斯帶、克萊因瓶等等――發生興趣，並遇到了一個新奇的難題，數學家本會通過計算來嘗試解決這個難題，而bennett則用玻璃解決了它。他做出的一系列引人注目的物品很快就將成為倫敦科學博物館中的一項永久性陳列品。
克萊因瓶的一些應用猜想
如果麥比烏斯帶能夠完美的展現一個“二維空間中一維可無限擴展之空間模型”的話，克萊因瓶只能作為展現一個“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”的參考。因為在制作麥比烏斯帶的過程中，我們要對紙帶進行180度翻轉再首尾相連，這就一個三維空間下的操作。理想的“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”應該是在二維面中，朝任意方向前進都可以回到原點的模型，而克萊因瓶雖然在二維面上可以向任意方向無限前進，但是只有在兩個特定的方向上才會回到原點，並且只有在其中一個方向上，回到原點之前會經過一個“逆向原點”，真正理想的“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”也應該是在二維面上朝任何方向前進，都會先經過一次“逆向原點”，再回到原點。而制作這個模型，則需要在四維空間上對三維模型進行扭曲。數學中有一個重要分支叫“拓撲學”，主要是研究幾何圖形連續改變形狀時的一些特征和規律的，克萊因瓶和麥比烏斯帶變成了拓撲學中最有趣的問題之一。麥比烏斯帶的概念被廣泛地應用到了建築，藝術，工業生產中。
克萊因瓶的發明人介紹
菲立克斯·克萊因克萊因在杜塞爾多夫讀的中學，畢業後，他考入了波恩大學學習數學和物理。他本來是想成為一位物理學家，但是數學教授普律克改變了他的主意。1868年克萊因在普律克教授的指導下完成了博士論文。在這一年裡，普律克教授去世了，留下了未完成的幾何基礎課題。克萊因是完成這一任務的最佳人選。後來克萊因又去服了兵役。1871年，克萊因接受哥廷根大學的邀請擔任數學講師。1872年他又被埃爾朗根大學聘任為數學教授，這時他只有23歲。1875年他在慕尼黑高等技術學院取得了一個教席。在這裡，他的學生包括胡爾維茨、馮戴克、洛恩、普朗克、畢安奇和裡奇。五年之後，克萊因應邀去萊比錫大學講授幾何學。在這裡他和他過去的出色的學生馮戴克、洛恩、司徒迪和恩格爾等成為了同事。1886年，克萊因接受了哥廷根大學的邀請來到哥廷根，開始了他的數學家的生涯。他講授的課程非常廣泛，主要是在數學和物理之間的交叉課題，如力學和勢論。他在這裡直到1913年退休。他實現了要重建哥廷根大學作為世界數學研究的重要中心的願望。著名的數學雜志《數學年刊》就是在克萊因的主持管理下才能在重要性上達到和超過了《克萊爾雜志》的。這本雜志在復分析、代數幾何和不變量理論方面很有特色。在實分析和群論新領域也很出色。要了解克萊因對在幾何學上所作的貢獻的特點是有點難的，因為即使用我們今天數學思想的大部分來理解他的結果的新奇之處也是很困難的。克萊因在數學上做出的第一個貢獻是在1870年與李合作發現的。他們發現了庫默爾面上曲線的漸近線的基本性質。他進一步地與李合作研究w-曲線。1871年克萊因出版了兩篇有關非歐幾何的論文，論文中證明了如果歐氏幾何是相容的，那麼非歐幾何也是相容的。這就把非歐幾何置於與歐氏幾何同樣堅實的基礎之上。克萊因在他的著名的埃爾朗根綱領中，以變換群的觀點綜合了各種幾何的不變量及其空間特性，以此為標准來分類，從而統一了幾何學。今天這些觀點已經成為大家的標准。變換在現代數學中扮演者主要角色。克萊因指明了如何用變換群來表達幾何的基本特性的方法。而克萊因自己認為他對數學的貢獻主要在函數理論上。1882年他在一篇論文中用幾何方法來處理函數理論並把勢論與保形映射聯系起來。他也經常把物理概念用在函數理論上，特別是流體力學。克萊因對大於四次的方程特別是用超越方法來解五次的一般方程感興趣。在厄爾米特和克隆耐克爾建立了與布裡奧斯奇類似的方法之後，克萊因立刻就用二十面體群去試圖完全解決這個問題。這個工作導致他在一系列論文中對橢圓模函數的研究。1884年，克萊因在他的一本關於二十面體的重要著作中，得到了一種連接代數與幾何的重要關系，他發展了自守函數論。他和一位來自萊比錫的數學家羅伯特·弗裡克合作出版了一套四卷本的關於自守函數和橢圓模函數的著作，這本著作影響以後20年。另一個計劃是出版一套數學百科全書。他積極地參與到這個工作中，與k·穆勒一起編輯力學部分的四卷。我們還要提到克萊因發現的克萊因瓶，一種只有一個面的曲面。1885年克萊因被英國皇家學會選為國外會員並被授予科普勒獎金。1908年克萊因被國際數學會選為在羅馬召開的數學家大會主席。
克萊因瓶的商業應用
以前克萊因瓶只是拓撲學上的寵物，現在它終於走向了人們。克萊因杯的內壁和和外壁其實是一個連通的整體，所以它有兩層，內層杯和外層杯。它的內膽是一個小杯，它的杯壁和手柄的內部構成另外一個外杯。你可以在兩層杯子上都裝上不同的液體。（就像鴛鴦火鍋？）不知大家對武俠上經常提到的轉心壺是否還有印象，兩者有異曲同工之妙。