關於“鬼谷子和徒弟孫膑龐涓”的故事。智力問題……

4和13

具體分析見下：

解題思路1：

假設數為x,y;和為x+y=a,積為x*y=b.
根據龐第一次所說的：“我肯定你也不知道這兩個數是什麼”。由此知道，x+y不是兩個素數之和。那麼a的可能11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,65,67,71,77,79,83,87,89,95,97.
我們再計算一下b的可能值：
和是11能得到的積:18,24,28,30
和是17能得到的積:30,42,52,60,66,70,72
和是23能得到的積:42,60...
和是27能得到的積:50,72...
和是29能得到的積:...
和是35能得到的積:66...
和是37能得到的積:70...
......
我們可以得出可能的b為....，當然了，有些數（30=5*6=2*15）出現不止一次。

這時候，孫依據自己的數比較計算後，“我現在能夠確定這兩個數字了。”
我們依據這句話，和我們算出來的b的集合，我們又可以把計算出來的b的集合刪除一些重復數。

和是11能得到的積:18,24,28
和是17能得到的積:52
和是23能得到的積:42,76...
和是27能得到的積:50,92...
和是29能得到的積:54,78...
和是35能得到的積:96,124...
和是37能得到的積:,...
......
因為龐說：“既然你這麼說，我現在也知道這兩個數字是什麼了。”那麼由和得出的積也必須是唯一的，由上面知道只有一行是剩下一個數的，那就是和17積52。那麼x和y分別是4和13。

解題思路2：

說話依次編號為s1，p1，s2。
設這兩個數為x，y，和為s，積為p。
由s1，p不知道這兩個數，所以s不可能是兩個質數相加得來的，而且s＜＝41，因為如果s＞41，那麼p拿到41×（s－41）必定可以猜出s了（關於這一點，參考老馬的證明，這一點很巧妙，可以省不少事情）。所以和s為{11，17，23，27，29，35，37，41}之一，設這個集合為a。
1).假設和是11。11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，如果p拿到18，18＝3×6＝2×9，只有2＋9落在集合a中，所以p可以說出p1，但是這時候s能不能說出s2呢？我們來看，如果p拿到24，24＝6×4＝3×8＝2×12，p同樣可以說p1，因為至少有兩種情況p都可以說出p1，所以a就無法斷言s2，所以和不是11。
2).假設和是17。17＝2＋15＝3＋14＝4＋13＝5＋12＝6＋11＝7＋10＝8＋9，很明顯，由於p拿到4×13可以斷言p1，而其他情況，p都無法斷言p1，所以和是17。
3).假設和是23。23＝2＋21＝3＋20＝4＋19＝5＋18＝6＋17＝7＋16＝8＋15＝9＋14＝10＋13＝11＋12，咱們先考慮含有2的n次冪或者含有大質數的那些組，如果p拿到4×19或7×16都可以斷言p1，所以和不是23。
4).假設和是27。如果p拿到8×19或4×23都可以斷言p1，所以和不是27。
5).假設和是29。如果p拿到13×16或7×22都可以斷言p1，所以和不是29。
6).假設和是35。如果p拿到16×19或4×31都可以斷言p1，所以和不是35。
7).假設和是37。如果p拿到8×29或11×26都可以斷言p1，所以和不是37。
8).假設和是41。如果b拿到4×37或8×33，都可以斷言p1，所以和不是41。
綜上所述：這兩個數是4和13。

解題思路3：

孫龐猜數的手算推理解法

1)按照龐的第一句話的後半部分，我們肯定龐知道的和s肯定不會大於54。

因為如果和54恰好是53和a，那麼孫知道的積m就是m=53*a，於是孫知道，這原來兩個數中至少有
一個含有53這個因子，因為53是個素數。可是小於100，又有53這個因子的，只能是
53本身，所以孫就可以只憑這個積53*a推斷出這兩個數術53和a。所以如果龐知道的
s大於54的話，他就不敢排除兩個數是53和a這種可能，也就不敢貿然說“但是我肯定
你也不知道這兩個數是什麼”這種話。

如果53+99
如果s=98+99，那麼龐可以立刻判斷出，這兩個數只能是98和99，而且m只能是98*99，
孫也可以知道這兩個術，所以顯然不可能。

2)按照龐的第一句話的後半部分，我們還可以肯定龐知道的和s不可以表示為兩個素數的和。

否則的話，如果鬼谷子選的兩個數字恰好就是這兩個素數，那麼孫知道積m後，就可以得到唯一的素因子分解，判斷出結果。於是龐還是不敢說“但是我肯定你也不知道這兩個數是什麼”這種話。

根據哥德巴赫猜想，任何大於4的偶數都可以表示為兩個素數之和，對54以下的偶數，猜想肯定被驗證過，所以s一定不能是偶數。

另外型為s=2+p的奇數，其中p是奇素數的那些s也同樣要排除掉。

還有s=51也要排除掉，因為51=17+2*17。如果鬼谷子選的是(17,2*17)，那麼孫知道
的將是m=2*17*17，他對鬼谷子原來的兩數的猜想只能是(17,2*17)。（為什麼51要單獨拿出來，要看下面的推理）

3)於是我們得到s必須在以下數中：
11172327293537414753

另外一方面，只要龐的s在上面這些數中，他就可以說“但是我肯定你也不知道這兩個
數是什麼”，因為這些數無論怎麼拆成兩數和，都至少有一個數是合數（必是一偶一
奇，如果偶的那個大於2，它就是合數，如果偶的那個等於2，我們上面的步驟已經保
證奇的那個是合數），也就是s只能拆成
a)s=2+a*b或b)s=a+2^n*b
這兩個樣子，其中a和b都是奇數，n>=1。
那麼（下面我說的“至少兩組數”中的兩組數都不相同，而且的確存在（也就是那些
數都小於100）的理由我就不寫了，根據條件很顯然）
a)或者孫的m=2*a*b，孫就會在(2*a,b)和(2,a*b)至少兩組數裡拿不定主意（a和
b都是奇數，所以這兩組數一定不同）；
b)或者m=2^n*a*b，
如果n>1，那麼孫就會在(2^(n-1)*a,2*b)和(2^n*a,b)至少兩組數裡拿不定主意；
如果n=1，而且a不等於b，那麼孫就會在(2*a,b)和(2b,a)至少兩組數裡拿不定主
意；
如果n=1，而且a等於b，這意味著s=a+2*a=3a，所以s一定是3的倍數，我們只要
討論s=27就可以了。27如果被拆成了s=9+18，那麼孫拿到的m=9*18，他就會在
(9，18)和(27,6)至少兩組數裡拿不定主意。
（上面對51的討論就是從這最後一種情況的討論發現的，我不知道上面的論證是否
過分煩瑣了，但是看看51這個“特例”，我懷疑嚴格的論證可能就得這麼煩）

現在我們知道，當且僅當龐得到的和數s在
c={11,17,23,27,29,35,37,41,47,53}
中，他才會說出“我雖然不能確定這兩個數是什麼，但是我肯定你也不知道這兩個數
是什麼”這句話

孫膑可以和我們得到同樣的結論，他還比我們多知道那個m。

4)孫的話“我現在能夠確定這兩個數字了”表明，他把m分解成素因子後，然後組合成
關於鬼谷子的那兩個數的若干個猜想中，有且僅有一個猜想的和在c中。否則的話，他
還是會在多個猜想之間拿不定主意。

龐涓聽了孫的話也可以得到和我們一樣的結論，他還比我們多知道那個s。

5)龐的話“我現在也知道這兩個數字是什麼了”表明，他把s拆成兩數和後，也得到了
關於鬼谷子的那兩個數的若干個猜想，但是在所有這些拆法中，只有一種滿足4)裡的
條件，否則他不會知道究竟是哪種情況，使得孫膑推斷出那兩個數來。

於是我們可以排除掉c中那些可以用兩種方法表示為s=2^n+p的s，其中n>1，p為素數。
因為如果s=2^n1+p1=2^n2+p2，無論是(2^n1,p1)還是(2^n2,p2)這兩種情況，孫膑都
可以由m=2^n1*p1或m=2^n2*p2來斷定出正確的結果，因為由m得到的各種兩數組合，
只有(2^n,p)這樣的組合，兩數和才是奇數，從而在c中，於是孫膑就可以宣布自己知道
了是怎麼回事，可龐涓卻還得為(2^n1,p1)還是(2^n2,p2)這兩種情況犯愁。

因為11=4+7=8+3，23=4+19=16+7，27=4+23=16+11，35=4+31=16+19，37=8+29=32+5，
47=4+43=16+31。於是s的可能值只能在
17294153
中。讓我們繼續縮小這個表。

29不可能，因為29=2+27=4+25。無論是(2,27)和(4,25)，孫膑都可以正確判斷出來：
a)如果是(2,27)，m=2*27=2*3*3*3，那麼孫可以猜的組合是(2,27)(3,18)(6,9)，
後面兩種對應的s為21和15，都不在c中，故不可能，於是只能是(2,27)。
b)如果是(4,25)，m=4*25=2*2*5*5，那麼孫可以猜的組合是(2,50)(4,25)(5,20)
(10,10)。只有(4,25)的s才在c中。
可是龐涓卻要為孫膑的m到底是2*27還是4*25苦惱。

41不可能，因為41=4+37=10+31。後面推理略。

53不可能，因為53=6+47=16+37。後面推理略。

研究一下17。這下我們得考慮所有17的兩數和拆法：
(2,15)：那麼m=2*15=2*3*5=6*5，而6+5=11也在c中，所以一定不是這個m，否則4)
的條件不能滿足，孫“我現在能夠確定這兩個數字了”的話說不出來。
(3,14)：那麼m=3*14=2*3*7=2*21，而2+21=23也在c中。後面推理略。
(4,13)：那麼m=4*13=2*2*13。那麼孫可以猜的組合是(2,26)(4,13)，只有(4,13)
的和在c中，所以這種情況孫膑可以說4)中的話。
(5,12)：那麼m=5*12=2*2*3*5=3*20，而3+20=23也在c中。後面推理略。
(6,11)：那麼m=6*11=2*3*11=2*33，而2+33=35也在c中。後面推理略。
(7,10)：那麼m=7*10=2*5*7=2*35，而2+35=37也在c中。後面推理略。
(8,9)：那麼m=8*9=2*2*2*3*3=3*24，而3+24=27也在c中。後面推理略。

於是在s=17時，只有(4,13)這種情況，孫膑才可以猜出那兩數是什麼，既然如此，龐涓就知道這兩個數是什麼，說出“我現在也知道這兩個數字是什麼了”。聽了龐涓的話，於是我們也知道，這兩數該是(4,13)。